Istituto Tecnico Nautico "Artiglio" - Viareggio

MINI CORSO
DI
TRIGONOMETRIA SFERICA

Mauro Bertolini


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Sommario

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Sfera trigonometrica e triangolo sferico
Circolo massimo
Circolo minore
Distanza sferica
Poli di un circolo
Raggi sferici di un circolo
Angolo fra due circoli
Perpendicolare sferica
Triangolo sferico
Lati del triangolo
Angoli del triangolo
Eccesso sferico
Triangoli sferici rettangoli
Triangoli sferici rettilateri
Principali relazioni trigonometriche
Formule di Eulero
Teorema dei seni
Teorema delle cotangenti Triangoli sferici rettangoli
Triangolo astronomico o di posizione
Vertici del triangolo Lati del triangolo Angoli del triangolo
Trasformazione di coordinate



Sfera trigonometrica e triangolo sferico

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Le principali definizioni di geometria sulla sfera possono essere date utilizzando una sfera di raggio unitario, detta sfera trigonometrica, con il centro nell�origine di una terna di assi cartesiani orientati come in Fig. 1. Di seguito sono riportate le principali definizioni e formule di maggior utilizzo nei calcoli astronomici e nautici.

Circolo massimo:
qualsiasi cerchio ottenuto tagliando la sfera con un piano passante per il suo centro. I circoli massimi ottenuti con i piani fondamentali xy, xz ed yz sono anche detti circoli massimi fondamentali.

Circolo minore:
qualsiasi cerchio ottenuto tagliando la sfera con un piano non passante per il centro.

Distanza sferica fra due punti sulla sfera:
coincide con l�arco di circolo massimo, minore di mezza circonferenza, che ha per estremi quei punti. La distanza viene normalmente misurata in gradi e corrisponde all�angolo al centro sotteso dal suddetto arco.

Poli o centri sferici di un circolo:
sono gli estremi del diametro della sfera, perpendicolare al piano del circolo e passante per il centro della sfera.

Fig.1 - Sfera trigonometrica e cerchi fondamentali

Raggi sferici di un circolo:
sono le distanze sferiche di un polo da un punto qualsiasi del circolo; normalmente dei due poli si considera quello a cui corrisponde un raggio sferico minore di mezza circonferenza.

Angolo fra due circoli massimi:
è l�angolo formato dalle tangenti in uno dei loro due punti comuni, coincidente anche con l�angolo diedro fra i due piani formanti i suddetti circoli. Se uno dei due circoli passa per i poli dell�altro, l�angolo fra i due è retto.

Perpendicolare sferica:
dato un circolo massimo C ed un punto P (non appartenente a C), la perpendicolare sferica coincide con il circolo massimo passante per P e per i poli del cerchio C. L�arco fra il punto P ed il punto intersezione della perpendicolare con il cerchio C, rappresenta la distanza sferica del punto dal cerchio C.

Triangolo sferico:
è la superficie sulla sfera trigonometrica limitata da tre archi di circolo massimo passanti per tre punti detti vertici; tali punti non devono appartenere allo stesso circolo massimo e gli archi non devono avere alcun punto d'intersezione al di fuori dei vertici.
Si può facilmente verificare che tre punti su una sfera definiscono otto triangoli sferici, ma soltanto uno ha tutti i lati più piccoli di una semicirconferenza.

Lati del triangolo sferico:
sono le lunghezze degli archi AB, BC, CA che limitano la superficie. Tali lati, per quanto già detto, sono minori o uguali a 180�.

Angoli del triangolo sferico:
sono gli angoli formati dai tre archi di circolo massimo.

Eccesso sferico:
è dato dalla differenza e = A+B+C-180� in quanto in un triangolo sferico la somma degli angoli può essere compresa fra 1 e 3 angoli piatti.

Fig.2 - Triangolo sferico

Triangoli sferici rettangoli:
sono i triangoli con un angolo retto; possono esistere anche triangoli con due o tre angoli retti, chiamati triangoli birettangoli o trirettangoli.

Triangoli sferici rettilateri:
sono i triangoli con un lato lungo 90�. Analogamente possono esistere triangoli birettilateri e trirettilateri.



Principali relazioni trigonometriche

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Formule di Eulero (Teorema del coseno)
Il coseno di un lato è uguale al prodotto dei coseni degli altri due lati più il prodotto dei seni moltiplicati per il coseno dell'angolo opposto.

Cos a = Cos b Cos c + Sin b Sin c Cos A
Cos b = Cos a Cos c + Sin a Sin c Cos B
Cos c = Cos a Cos b + Sin a Sin b Cos B

Teorema dei seni
Il rapporto fra il seno di un angolo ed il seno del lato opposto è costante.

Sin A
-------
Sin a
= Sin B
-------
Sin b
= Sin C
-------
Sin c

Teorema delle cotangenti
Sono formule che legano fra loro quattro elementi consecutivi: due lati e due angoli; complessivamente sono sei formule che si possono ricavare ricorrendo ad una regola mnemonica illustrata di seguito con un esempio. Siano a, B, c, A i quattro elementi consecutivi da legare con la suddetta formula. Si disegna il triangolo sferico e si traccia una linea spezzata come mostrato in figura, si parte dal lato esterno a (lato non compreso fra i due angoli), si va all'altro lato c, si ritorna nell'angolo compreso C e si raggiunge infine l'angolo A opposto al lato a di partenza.

Fig.3 - Regola mnemonica

Si scrivono due terne di funzioni, di cui la prima è Ctg, Sin e Cos (cotangente, seno e coseno) e la seconda è l�immagine speculare della prima; le sei funzioni trigonometriche vanno divise in tre coppie, fra la prima e la seconda si pone il segno d'uguaglianza, fra le ultime due si pone il segno più.
Gli argomenti delle sei funzioni trigonometriche sono nell'ordine quelli indicati dalla precedente spezzata, con l'avvertenza di scrivere due volte gli elementi corrispondenti alle cuspidi della spezzata: angolo C e lato b nell'esempio di figura. Nell�esempio proposto si ha in definitiva:

Ctg a Sin c = Cos c Cos B + Sin B Ctg A
Le altre relazioni sono:
Ctg a Sin b = Cos b Cos C + Sin C Ctg A
Ctg b Sin a = Cos a Cos C + Sin C Ctg B
Ctg b Sin c = Cos c Cos A + Sin A Ctg B
Ctg c Sin a = Cos a Cos B + Sin B Ctg C
Ctg c Sin b = Cos b Cos A + Sin A Ctg C

Triangoli sferici rettangoli
Tutte le formule precedenti si semplificano notevolmente nel caso di triangoli sferici rettangoli; considerando anche altre formule non riportate precedentemente, si ottengono dieci formule ridotte che possono essere facilmente ricordate con la regola mnemonica di Nepero.

Si disegna una stella a cinque punte ed in ogni settore si scrivono consecutivamente tutti gli elementi del triangolo saltando l'angolo retto e sostituendo i cateti con i loro complementi. Il coseno di un elemento è uguale al prodotto delle cotangenti degli elementi adiacenti oppure è uguale al prodotto dei seni degli elementi opposti.

Fig. 4 - Regola mnemonica Nepero

Nel trascrivere gli elementi nei vari settori non importa da quale si parte e dal verso (orario o antiorario). In Fig. 4 è riportato il caso dell�angolo retto in A, applicando la precedente regola al lato a si ottengono:

Cos a = Ctg B Ctg C
Cos a = Sin(90�-b) Sin(90�-c) = Cos b Cos c

Procedendo analogamente per gli altri quattro elementi si ottengono in totale le dieci formule già menzionate.



Triangolo astronomico o di posizione

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Per eventuali approfondimenti sui termini astronomici vedere: "Introduzione al Planetario".


Vertici del triangolo
Il triangolo astronomico o di posizione ha i vertici nell'astro, nello zenit e nel polo celeste nord; il terzo vertice potrebbe essere anche l'altro polo, ma per convenzione è preferibile usare quello nord in quanto semplifica le regole algebriche per il calcolo delle lunghezze dei lati.

Lati del triangolo
I lati del triangolo hanno lunghezze comprese fra 0 e 180� definite come segue.

Distanza polare p = 90� - d
Il lato PcnA coincide con la distanza polare ossia la distanza che l'astro ha dal polo di riferimento (polo celeste nord, per convenzione). Considerando la declinazione d positiva se di segno Nord e negativa se di segno Sud la distanza polare è p < 90� nel primo caso e p > 90� nel secondo.

Colatitudine c = 90� - j
Il lato PcnZ coincide con la colatitudine, ossia il complemento della latitudine j. Si ricorda che l'elevazione dell'asse polare è esattamente pari alla latitudine del luogo. La precedente convenzione per la declinazione può essere adottata anche per la latitudine per cui si ha c < 90� per latitudini nord e c > 90� per quelle sud.

Distanza zenitale z = 90� - h
Il lato ZA coincide con la distanza zenitale z, ossia la distanza che l'astro ha dallo zenit. Tale distanza è il complemento dell'altezza h (z = 90�-h). Se l'astro è nell'emisfero visibile si ha h > 0 e z < 90�, per astri nell'emisfero invisibile si ha h < 0 e z > 90�.

Fig. 5 - Sfera celeste e triangolo astronomico

Angoli del triangolo
Gli angoli del triangolo, come i lati, possono assumere soltanto valori compresi fra 0 e 180� per cui al posto dell'angolo orario t e dell'azimut Az occorre considerare altre due grandezze che rispettino tali limiti, e precisamente l'angolo al polo e l'angolo azimutale.

Angolo al polo P
Coincide con l'angolo fra il meridiano superiore dell'osservatore ed il meridiano dell'astro, esso è contato da 0 a 180� e può essere est (E) od ovest (W) a secondo dell'emisfero in cui si trova l'astro. La definizione è simile a quella dell'angolo orario, con la sola differenza che quest'ultimo è contato da 0 a 360�, a partire dal meridiano superiore e girando verso ovest.
Per quanto detto l'angolo al polo è collegato all'angolo orario delle seguenti relazioni:

PW = t se t < 180�
PE = 360� - t se t > 180�
e viceversa
t = PW
t = 360� - PE

Esempi: t = 100�
PE = 120�
corrisponde a PW = 100�
t = 240�

Angolo azimutale Z
E' definito come l'angolo fra il verticale Nord ed il verticale dell'astro. Si conta da 0 a 180� ed è preceduto dal segno N (nord) e seguito dal segno E od W a secondo dell'emisfero in cui si trova l'astro. Analogamente a quanto detto in precedenza, esso è collegato all'azimut dalle seguenti relazioni:

Z = N (Azimut) E se Az<180�
Z = N (360�-Azimut) W se Az>180�
e viceversa
Az = Z se l'astro � ad est
Az = 180�-Z se l'astro � ad ovest

Esempi: Az = 120�
Z = N 80� W
corrisponde a Z = N 120� E
Az = 280�

Angolo di posizione A
Non ha alcun interesse particolare in questa trattazione



Trasformazione di coordinate

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I due casi di maggior interesse sono quelli di trasformazione delle coordinate orarie in altazimutali e viceversa; tali trasformazioni possono essere effettuate utilizzando semplicemente le seguenti formule, ottenute applicando Eulero,:

Cos z = Cos c Cos p + Sin c Sin p Cos P
Cos p = Cos c Cos z + Sin c Sin z Cos Z

Tenendo conto delle espressioni di c, p e z (Lati del triangolo) si ricavano:

Sin h = Sin j Sin d + Cos j Cos d Cos P
Sin d = Sin j Sin h + Cos j Cos h Cos Z
(1)
(2)

Fig. 6 - Triangolo astronomico o di posizione

Nota: Nelle precedenti espressioni occorre tenere presente le regole sui segni date in precedenza per h (+ se visibile e - se invisibile) e per j e d (+ se nord e - se sud). Le altre grandezze, ossia Z e P, vanno introdotte in valore assoluto essendo angoli compresi fra 0 e 180�

Prima trasformazione: da coordinate orarie ad altazimutali

Noti: - angolo orario t
- declinazione d
- latitudine j
calcolare: - azimut Az
- altezza h

Le relazioni sono la (1) e la seguente che si ottiene dalla (2):

Cos Z = Sin d - Sin j Sin h
---------------------
Cos
j Cos h
(3)

Esempio:
Latitudine dell'osservatore:
Angolo orario:
Declinazione:
j = 43� 51' N
t = 36� 25'
d = 8� 38' S

Poichè t < 180� si ha PW = t = 36� 25' e

Sin h = Sin(+43�51') Sin(-8�38') + Cos(+43�51') Cos(-8�38') Cos(36�25')

da cui h = +28,01880621 equivalenti ad h = +28� 01' 08"

Cos Z = Sin(-8�38') - Sin(+43�51') Sin(28�01'08")
----------------------------------------------------------
Cos(+43�51') Cos(28�01'08")

da cui Z = N 138�20' W e quindi Az = 221�40'

Seconda trasformazione: da coordinate altazimutali ad orarie

Noti: - azimut Az
- altezza h
- latitudine j
calcolare: - angolo orario t
- declinazione d

Le relazioni sono la (2) e la seguente che si ottiene dalla (1)

Cos P = Sin h - Sin j Sin d
--------------------
Cos
j Cos d
(4)

Esempio:
Latitudine dell'osservatore:
Azimut:
Altezza:
j = 43� 51' N
Az = 163�
h = 17� 52'

Poichè Az < 180� l'astro � osservato nell'emisfero est e quindi si ha Z = N 163� E. Analogamente il segno di P � est.

Sin d = Sin(+43�51') Sin(17�52') + Cos(+43�51') Cos(17�52') Cos(163�)

da cui d = -26,3491888 equivalenti ad d = -26�20'57"

Cos P = Sin(17�52') - Sin(+43�51') Sin(-26�20'57")
----------------------------------------------------------
Cos(+43�51') Cos(-26�20'57")

da cui PE = 18� 05' 29" e quindi t = 341� 54' 31".

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